如果A+B=90，A÷B=17，AB各多少?

发布时间：

2024-06-28 14:22

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你好啊小朋友，这道题是非常难的，我们很难通过常规方法来求出它的解，但是哥哥这里有一种简单巧妙的方法以解决该问题.

观察题目,我们发现可以用线性代数的方法来解决此问题.

对于给定的方程组：

$\left\{\begin{matrix}A+B=90 \\A{\div} B=17 \\AB\ne 0 \end{matrix}\right.$

我们发现，这个方程组不可以直接用标准的线性代数中的矩阵变换来解，因为矩阵变换和线性代数主要处理线性方程组，而第二个方程 $A \div B = 17$ 是一个非线性方程.

不过，我们可以通过变形来尝试解决问题。

变形第二个方程

$A\div{B}=17$

得到

$A=17B$

整理，得到

$A-17B=0$

那么我们就得到了这么一个方程组，

$\left\{\begin{matrix}A+B=90 \\A- 17B=0 \end{matrix}\right.$

首先，我们将这个方程组表示为矩阵形式 $AX = B$ ，其中：

$A$ 是系数矩阵，
$X$ 是未知数矩阵，
$B$ 是常数矩阵.

所以，我们有：

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -17 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 90 \\ 0 \end{bmatrix}$

为了找到未知数矩阵 $X$ ，我们需要计算系数矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ ，然后将其乘以常数矩阵 $B$ .

即 $X = A^{-1}B$

首先，我们计算 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 。为了计算一个矩阵的逆，我们使用公式：

$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)$

其中， $\text{det}(A)$ 是 $A$ 的行列式， $\text{adj}(A)$ 是 $A$ 的伴随矩阵。

对于矩阵 $A$ ，行列式 $\text{det}(A)$ 为：

$\text{det}(A) = (1)\times(-17) - (1)\times(1) = -17 - 1 = -18$

伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 是由 $A$ 的每个元素的代数余子式构成的矩阵的转置。对于 $2 \times 2$ 矩阵，伴随矩阵简单地由交换对角线元素和改变非对角线元素的符号组成：

$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -17 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

因此， $A^{-1}$ 为：

$A^{-1} = \frac{1}{-18} \begin{bmatrix} -17 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{17}{18} & \frac{1}{18} \\ \frac{1}{18} & -\frac{1}{18} \end{bmatrix}$

最后，我们用 $A^{-1}$ 乘以 $B$ 来找到 $X$ ：

$X = \begin{bmatrix} \frac{17}{18} & \frac{1}{18} \\ \frac{1}{18} & -\frac{1}{18} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 90 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{17}{18} \times 90 + \frac{1}{18} \times 0 \\ \frac{1}{18} \times 90 - \frac{1}{18} \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 85 \\ 5 \end{bmatrix}$