存不存在填充整个平面的函数?

发布时间：

2024-10-05 04:16

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存在的，可以参考Cauchy's functional equation

具体来讲，如果一个函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 满足 $f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in\mathbb R$ ，那么就说f是Cauchy函数方程的解，这个方程显然的解是正比例函数 $f_a(x)=ax,a\in \mathbb R$ ，但是这个方程存在其他的非连续解，并且任何一个非连续解的函数图像都在整个平面上稠密

只需要考虑 $\mathbb R$ 作为 $\mathbb Q$ -线性空间的一组Hamel basis $S=\{a_i|i\in I\}$ ，设 $f(a_i)=k_ia_i,k_i\in\mathbb Q$ ，那么f必然满足Cauchy函数方程，比如我们可以选择 $1,\sqrt2\in S$ ，然后设 $f:\mathbb R\to \mathbb R:f(1)=1,f(\sqrt2)=2\sqrt2,f|_{\mathbb R/(\mathbb Q\oplus\sqrt2\mathbb Q)}=id$ ，那么自然有 $f(a+b\sqrt2)=a+2b\sqrt2,a,b\in\mathbb Q$ ，注意到 $\begin{bmatrix} 1&\sqrt2\\ 1&2\sqrt2 \end{bmatrix}$ 是一个可逆矩阵，所以是一个 $\mathbb R^2$ 的自同胚，自然把稠密子集 $\mathbb Q^2$ 映射到一个稠密子集，所以f的图像在整个平面上稠密

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