1/lnx的导数也是x，x²/2的导数还是x，这么说x有两种积分方式？

发布时间：

2024-09-04 14:39

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笑点解析：题主的目标是“上岸复旦”，然而其数学水平甚至不如一般的全日制普通高中三年级生（导数的计算是高考大纲的必考点）。题主的谜之自信与他在题目中表现的真实水平反差巨大，令人实在忍俊不禁。

我觉得这就是一种自信

为避免被批评本篇回答没有任何数学内容只是在抖机灵，这里试对 @刘醉白给出的一种特殊情形，即常微分方程 $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+x^2=0$ 做出解答。

注意到可以对 $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+x^2$ 做复数域上的因式分解，得到

$\left(\frac{dx}{dt}-ix\right)\left(\frac{dx}{dt}+ix\right)=0$

令上述方程成立的充要条件是其中必有一因式为0，于是有

$\left(\frac{dx}{dt}=ix\right)\vee\left(\frac{dx}{dt}=-ix\right)$

注意到其中每一个方程都是一阶线性齐次微分方程，其通解分别为

$x=c_1e^{it}$ 和 $x=c_2e^{-it}$

综上所述，原微分方程的通解为 $x=c_1e^{it}$ 或 $x=c_2e^{-it}$ ，二者必满足其中一条的形式，当然两者都满足也是可以的，此时 $c_1e^{it}\equiv x(t)\equiv c_2e^{-it}$ ，整理得 $c_1e^{2it}\equiv c_2$ ，求导得 $2ic_1e^{2it}\equiv 0$ ，为了满足恒等式必有 $c_1=0$ ，此时 $x=0$ 也是原方程的解。

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