级数ln1+lnln2+lnlnln3+lnlnlnln4……是否收敛？

如果在R上讨论，级数收敛于lnln2+lnlnln3，因为lnlnlnln4不存在。如果在C上讨论，一个数不断求ln，这个是不动点迭代，会收敛到lnx=x的复数解，即e^-W(-1)。这个数不等于零，把一个非零的数字无限和自己加下去肯定不收敛(准确来说是以这个数字为极限，但迭代充分多次后，就会任意接近∞×e^-W(-1)这种未定式的效果)

如果是lnⁿ(Γ(n))，当n=2时，lnln1=ln0即使在C上也不存在，所以级数只有一项，即ln1=0。如果你让起点足够大，比如lnⁿ(Γ(n+10))，能多坚持几步，但如果在R上考虑，数列很快也会终结。你搞错了一点，Γ(n)的增长之快，确实能抵消对数的增长之慢，毕竟指数和对数正好抵消，而阶乘比指数还快了那么一丁点儿。但你想要抵消的可不是对数，而是迭代对数啊，这得二箭头级别的函数才能抵消，也就是x^x^......^x(x个x)这种增长率，而阶乘甚至还不如x^x，和e^x的差距实在是微乎其微。如果在C上考虑，这东西比较复杂，是否收敛我也还没思路。

顺便说一下，阶乘函数即使在R上考虑，如果看负数那边，图像也是特别奇异的，每个负整数处都是间断点，毕竟(-1)!=0!/0就不存在了，然后各个长度为1的区间内，图像是按奇偶间隔的正倒相间的U字形，比如(-1,0)之间是x=0上方的正U字形，(-2,-1)之间是x=0下方的倒U字形，(-3,-2)之间又回到x=0上方的正U字形，以此类推。越往数轴左边的区间，U字形的两竖越来越笔直，底部越来越平坦，最后趋于一个コ字形(要把开口方向旋转到朝上或者朝下，输入法打不出来，用这个替代一下)。总之负半轴上的图像要比正半轴上快速增长的连续函数奇特得多。