高中数学解析几何圆锥曲线大题真的是硬解就能解出吗？

建议先收藏，再细品，这是我高中三年总结下来的精华部分，虽然可能说偏怪难的题型没有包括进来，不过吃透下面这几道题，你的解析几何肯定没问题！。

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看看吧，认真看完这篇回答，你的解析几何再拿不了满分来找我

这是一系列文章，我将在接下来了80多天，尽力把理科比较难的大题题型全部归纳一下

然后在最后我会告诉做解析几何的窍门，让你的解析几何不再没有头绪，拿到既可做

全文干货，不掺水，可以说总结了解析几何中你能遇到的所有题型。请放心食用

• 说在前面：文章的解答，全部是我亲自手写的，因为我的改错本已经画的乱七八糟，为了让同学们看的清楚直观一些，我全部采用A4字手写答案和归纳，可能字不太好看，还请莫怪

目录（catalogue）

一、最值问题和取值范围问题（|AB|/|CD|或者|OA|·|OB|的取值范围或最值）

二、面积的取值范围和最值

三、探索性问题（探索点或者直线存不存在）

四、证明：定点问题or定值问题

附录：最终式子的取值范围求法（求导还是基本不等式）

#可能第二大题有点包含第一大题，不过这里还是分开列了，讲的时候细一点讲，但是总体的方法还是一致的

一个一个来

一、最值问题和取值范围问题（|AB|/|CD|或者|OA|·|OB|的取值范围或最值）

上例题（先自己尝试做一下，再看答案）

例题1.1

一定要保证自己做一遍再看答案哦

做完这道题，总结一下

tips：

①做解析几何一定要画草图！一定要画草图！

②当题目中给出一条直线的时候，先看题干中给定直线的斜率k没有，如果给出，那么就不需要讨论不存在的情况，如果没有给出，一定要讨论斜率存在和不存在的两种情况，因为少讨论一点是会扣分的，不严谨

③当题额目中涉及到垂直的时候，首先应该考虑两向量的数量积为0，这样非常方便，可以套用坐标，构造出X1*X2和X1+X2然后，再结合联立方程的韦达定理，得证！

④关于求取值范围的或者最值的题目，最后的一个式子往往会设计到函数的取值范围的计算，方法无非就是以下几种：1.换元 2.分离常数 3.基本不等式 4.二次函数的单调性

⑤学机灵一点，一看到圆，一定要考虑他的特殊性质，特别是立面垂直的性质，给出圆这个特殊的图形，就一定会考他特殊的性质，所以一旦题目中出现了圆，要把垂直作为预备条件（也就是隐含条件）随时准备拿出来和向量结合在一起使用

⑥换元法写出来的参数，一定要给出元的范围，这道题目中用t还原，给出t的范围就是t>0

其实解析几何就是按部就班地写式子，按部就班地联立，按部就班地用韦达定理，按部就班地求取值范围，如此而已。题目中的条件可能多变，但是最后一定是转化为坐标，往韦达定理上靠，基本上就可以做出来了。

再来一题

例题1.2

再来看答案

做完这道题，先总结一下

tips：

①在圆中，有时候如果直接告诉一条直线，并且告诉了他与圆的位置关系，这个时候圆心到直线的距离可以列一个式子，这个式子可以求出一个关于k的范围，这个范围一定会在最后的求取值范围的过程中用到，平时需要多留个心眼

②当你觉得参数太多，式子不够的时候，可以考虑一下点在你设的点也同时在圆锥曲线上，带入圆锥曲线的方程，又可以得出一个含参的式子，利于联立求解

这道题一样的套路

往韦达定理上靠，联立，求解

二、面积的取值范围和最值

再来看答案

同样，明确了我们要求四边形ACBD的取值范围之后，首先我们应该用含参的表达式把四边形的面积表达出来，在这个过程中有的题目可能需要分割法或者其他的方法，但是题目中总会给你一些隐含的条件让你能够转化出来，在这个题目中，因为告诉了AB和CD垂直，所以直接就可以相乘写出表达式，然后分别设坐标，联立方程，用韦达定理，然后再用距离公式，用唯一的变量k表达，和上面一道题一模一样，然后再讨论最后的函数式的取值范围，然后就是函数的问题了，做到最后一步就算范围求错了，也可以拿到10-11分了，这个程度，解析几何就已经算完成地比较完美了

三、探索性问题（探索点或者直线存不存在）

探索性的问题，一般的问法就是，是否存在情况A,使得结果B成立

解法：把B当做一个已经成立的条件，反过来去解出情况A

假设成立，用得出的条件返回去解

就是直接把结果当做条件来用，去证明探索的要求

下面看题目

来看答案

就像上述红字所写的，解析几何就是要把参数和坐标结合起来，用坐标表示，然后联立方程，设出点的坐标，用韦达定理，然后求出只有一个未知数（一般是斜率k），这道题里面是N点的横坐标n，那么最后就可以用整体代换，把X1*X2和X1+X2换进去，解出答案就可

四、证明：定点问题or定值问题

关于证明题，里面定点问题一般相对较简单，但是关于定值问题，不仅存在乘法为定值，还存在加法为定值，很多不同的式子要求证明为定值，总的来说，其实万变不离其宗，都是按照上面说的方法，贯穿始终，只是可能不同类型的题目，切入点不同罢了

下面来看几个例题你们就懂了

先看看定点的问题

这道题可能计算量有点大

但是这里用到了一个比较巧妙的解法，在设PQ的直线方程时我们变换一下形式

定点，我们要清楚什么是定点，就是不论斜率k取什么值，总是过定点

在题目中一般会告知，是在x轴上的定点还是在y轴上的定点

下面再来看一道题，如果题目中没有给出L1⊥L2这样的条件让我们列出等式

那我们又该怎么样求直线过定点呢？

这个题目可能有些难度

不过是一道非常典型的好题，如果遇到定点题，不是上面的解法，就是下面这个解法了

看，这是唯一的一个特殊情况

但其实还是用了韦达定理，贯穿始终

只是定点问题的这一类特殊的题型，这是唯一的解法

同学们需要重点理解一下

下面来说定值问题

还是一样看一道例题

这个题目也算是比较有难度的了

和平常的不太一样，这道题并没有运用到韦达定理

不过是个比较特殊的题目，想出来也不太难

下面来看答案，和你的对一下把~

######在这里补充说明一下：我们设直线方程的时候到底什么时候设y=kx+b，什么时候设x=ky+b呢

因为在考试中，特别是圆锥曲线中，很容易出现斜率不存在的情况，为了避免讨论，我们可以设x=ky+b的形式避免讨论

除此之外，没有什么特别的用处了，如果非要说有，可能就是某些涉及到抛物线的题目里面可能设x=ky+b的形式会大大简化我们的运算，如果在做题的时候发现，设第一种普通的直线方程计算量十分复杂，如果时间还够的话，可以考虑改设x=ky+b

说不定计算大大简化，几步就可以得出结论了

看了这么多道题

总的来说，我们就是要按部就班地把题目中的条件用坐标表达出来，然后列出等式

大家肯定会发现一点点规律，基本上有95%的题目都用了韦达定理

把题目的条件转化，然后往韦达定理上靠，解析几何基本上就做出来一半了

我们都是利用题目中所给的条件列出等式

然后设未知数，有时候可能是斜率k，也有可能是坐标n，这就要看题目到底问的是什么，不过大多数情况下还是设k

在设k的时候我们又需要讨论k到底存不存在........

很多细节问题在上面的题目总结中都有说出

大家可以再去上面仔细看一下

以上的所有题目和解法，基本上包含了高中解析几何能够遇到的所有题型

如果大家想要把解析几何做好

请细心地、反复地吃透上面的几道题

然后按照我总结的步骤，去试验几道题，与这其中的题目解答过程进行对比

总之解析几何，不难，但是也不简单

因为运算量还是相对较大、

• 不过只要你能设出参数，要知道题目让你求什么，题目告诉了你什么条件（认真读题，最少仔细读两遍），然后设参数，联立方程，利用韦达定理，代换，最后就只剩下一个含参的方程，要求什么一目了然了

其中定点的第二类题型大家需要花点功夫，因为这一类是计算量我认为最大的，也是很容易出错的

并且一旦出错就很容易做不出来，卡死

对于解析几何，考试的时候尽量多拿分，步骤分多拿一分是一分

绝对不能空着

还有最后一个part就是关于取值范围的

有好几种不同的求取值范围，最后化出来的式子，不知道怎么求范围，到底是还原还是分离常数，不知道什么时候用基本不等式

今天先总结这么多，明天再加更

如果同学还有更好地解答方法或者还有其他的题型或者难题，可以私信发给我，或者在评论区留言，我看到都会回复的

最后如果同学们有关于数学和理科和英语的学习上的问题，欢迎来我的主页付费咨询

我会耐心地解答你的所有疑问

今天的解析几何就到这

后续还有分享关于物理的电场磁场大题还有磁场中双杆等距和双杆不等距模型还有实验题的各种模型和解法，总之，这是一个系列

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