单摆摆角大于 5° 时将作什么运动？
好的，让我们推导单摆一下在较大摆角下的运动方程。
考虑一个长为 ，质量为
的单摆，在重力作用下发生自由摆动。摆角 θ 与竖直线的夹角为正，重力
的分解可以表示为：
沿着摆动路径的分力：
垂直于摆动路径的分力：
根据牛顿第二定律，沿着摆动路径的运动方程为：
其中， 是摆动路径的弧长，
。因此，方程可以重写为：
我们可以简化这个方程，消去质量m，得到：
或者，重写为标准形式：
由于 在小角度下可以近似为
，但在
时，我们不能这么处理。此方程是一个非线性二阶微分方程，通常需要数值方法进行求解。
对于较大的角度，可以使用能量法来分析。单摆的机械能守恒，即势能和动能之和为常数：
其中， ，因此势能
。
将能量守恒式重写为：
可以从这个能量方程中求出 的表达式：
为了找到 ，可以进行分离变量的积分：
积分的复杂性取决于 的范围和具体情况，通常会涉及到椭圆积分或数值积分。
对于具体的数值解，建议使用数值积分方法，如 Runge-Kutta 方法，以获取 的时间演变。
我们可以通过泰勒展开式或摄动法来近似求解单摆的运动方程。
首先，我们考虑将 进行泰勒展开：
将其代入运动方程：
整理得：
这是一个非线性二阶微分方程，形式类似于简单谐振动，但有一个三次项。
在摄动法中，可以假设 的解为一个小参数
的级数展开：
将这个展开代入运动方程，得到每个级数项的方程。通常取 较小，使得
是近似的简谐解，考虑到高阶项对系统的影响。
对于简谐运动， ，解为：
对于第一阶摄动解 \( \theta_1(t) \)，可以通过线性化后的方程求得。最终，近似解的形式为：
在小角度近似（泰勒展开）下，我们有：
以下 MATLAB 代码将实现数值解（使用 Runge-Kutta 方法）和近似解的比较，并绘制图形：
% 参数设置
l = 1; % 单摆长度
g = 9.81; % 重力加速度
theta0 = deg2rad(30); % 初始角度 (30°)
t_span = [0, 10]; % 时间范围
t_eval = linspace(0, 10, 100); % 评估时间点
% 数值解
% 运动方程的右侧
odefun = @(t, theta) [theta(2); - (g/l) * sin(theta(1))];
% 初始条件 [theta, omega]
initial_conditions = [theta0; 0];
% 求解
[t, theta_num] = ode45(odefun, t_span, initial_conditions);
% 近似解
theta_approx = theta0 * cos(sqrt(g/l) * t_eval);
% 绘图
p;
hold on;
plot(t, theta_num(:, 1), 'b-', 'DisplayName', 'Numerical Solution');
plot(t_eval, theta_approx, 'r--', 'DisplayName', 'Approximate Solution');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Angle (rad)');
title('Comparison of Numerical and Approximate Solutions');
legend show;
grid on;
hold off;
运行以上代码后，将看到数值解（蓝线）和近似解（红虚线）的图形，通过观察两者的重合程度来验证近似解的正确性。
通过图形可以看出，当摆角较大时，运动方程中的非线性项使得系统的动力学行为变得复杂。尽管单摆在大角度下的运动是非线性的，但仍然表现出周期性特征。系统的运动周期会依赖于初始角度，较大的初始角度通常导致更长的周期。周期的变化使得单摆的行为与简单的简谐运动不同。
相图是描绘系统状态变化的重要工具。在相图中，横轴通常表示角度 ，纵轴表示角速度
。通过绘制相图，我们可以观察到：
在小角度近似时，相图中的轨迹是封闭的，表示周期性运动。随着角度增大，轨迹可能变得更加复杂。原点（静止位置）是一个不稳定的固定点，而 （倒立位置）是稳定的。摆动在相图中会表现出趋向于稳定点的行为。在某些情况下，随着初始条件的变化，系统可能表现出混沌行为，导致相图中的轨迹变得复杂而不规则。
在不同的相图区域，系统的能量分布不同，表现出不同的动能和势能特性。观察相图中轨迹的变化，可以识别出系统从周期性行为到混沌行为的转变。
