在数学中有哪些利用数形结合的经典问题或应用？

发布时间：

2025-04-03 13:21

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讲几个简单的：

1.（第五届IMO试题第5题）求证：

$\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}.$

代数思路的话，可能会想到三角函数和差化积或者复数来求解吧.

但借助几何图形去观察的话，一切就水落石出了.

无字证明（迫真）

如图，在正七边形中，（设边长为1）

$HD=\cos \frac{\pi}{7}，CJ=\cos \frac{2\pi}{7}，IC=\cos \frac{3\pi}{7}$

则

$KB=HD-CJ+IC$

$=\cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}$

$=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}$

证毕.

显然，根据几何思路，这题可以推广至如下的一道题，具体解法就给读者留作习题：

求和：

$\sum\limits_{i=0}^{n}\cos (\frac{2i+1}{2n+1}π).$

待会再写.

END