为什么高中数学不学解三次或四次方程？

（20241012再次补充修改，主要补充数学公式）

（20241011补充修改）

单纯考虑一般一元三次方程的根式形式求根公式（即根式解或者代数解）或者具体求解步骤，教给高中生并不难，甚至教给初中生都可以。

难点在于，一般一元三次方程，在三次方程判别式取值不同的情况下，根的形式可能变得非常复杂，有些内容不仅涉及虚数，甚至要涉及近世代数（伽罗华理论），不要说中学生，非数学专业理工科大学生通常都不会接触。

初中数学中，一元二次方程一般有两种最常见解法：求根公式法（实际就是配方法）和因式分解法。求根公式法得到的是二次根式解，正好可以作为“数的开方”和“二次根式”教学内容的延续，如果遇到根号下判别式为负值的情况，初中阶段可以直接认为没有实根，不予讨论。因式分解法得到的一般是有理根，使用的因式分解方法通常就是十字相乘法，实际上，因式分解法求有理根本质是多项式理论在二次多项式中的一个应用。

对于一元三次方程，如果只需要求有理根，同样也可以用因式分解法，如果三次多项式的拆项法因式分解不易掌握的话，只要根据简单的多项式理论就可以确定其一次有理因式的可能，随后用综合除法试除验证即可，综合除法实际是“秦九韶算法”的一种变形应用，中学生掌握也没有什么难度。

例如：三次方程 ，可对左端三次多项式进行因式分解，根据简单的多项式理论就可以知道，一次有理因式只有 ， ， ， 合计8种可能，可用综合除法依次试除，很快就能得到 ，确定三个不同的有理根分别是1、2和-3。

但如果要得到一元三次方程的根式形式求根公式，则问题要复杂得多，历史上第一次发布的一元三次方程求根公式是卡丹（也译作卡尔达诺或者卡当）公式或者卡丹—塔塔格里亚公式，但在三次方程求根公式发布之时，实际上还有很多问题没有得到彻底解决。

历史上首次发布的一元三次方程根式形式求根公式，对于缺二次项的三次方程 是：

对于一般三次方程 ，可用变换 变换成 的形式，因此下面只讨论缺二次项的三次方程。与二次方程类似，记 ，称为一元三次方程根的的判别式，简称三次方程判别式。

这个三次方程求根公式首次发布时，虚数的概念还没有出现，因此只适用于三次方程判别式大于零，即两个三次根号下都是实数的情况，无论是正数还是负数都可以开立方根，此时方程只有一个实根（剩下两个是共轭虚根），求根公式得到的也就是这唯一一个实根，这个求根公式教给中学生是完全可以的，公式中最多也只用到实数三次根式，对于没有学过复数的初中生，也只要告诉学生只有一个实根就够了。

三次方程判别式等于零的情况，两个三次根号下仍然都是实数，不用复数知识的情况下还是能得到一个实根，给初中生讲也没太大问题。但实际上此时三次方程有一个实根和一对相等实根（重根），合计三个实根，这个也可以给学过复数的高中生讲，用到一点复数知识，即三次单位根知识就可以得到三个实根。

困难在于，如果三次方程判别式小于零，方程反而有三个不等实根，这种情况下，求根公式实际上需要用下列方法得到：

注意，此时 和 的表示式中，三次根号下都是虚数，开立方变成了在复数域中开立方，而复数域中复数的立方根有三个，因此 和 实际是多值的，需要加一个限制条件：取 的一组 和 的值，也可以直接取 的任意一个值后，通过 计算得到相应的 值（这叫做胡德—罗巴切夫斯基方法，属于改进的卡丹方法）。得到一组 和 的值之后，三个根分别是：

其中 ，即三次单位根。

这种情况下， 和 、 和 、以及 和 分别是三组共轭虚数，分别求和后虚部均抵消，因此反而有三个不等实根。但要得到 和 的值，必须对虚数进行开立方，而虚数开立方是没有通用代数形式表达式的，必需使用三角形式或者指数形式的表达式才能得到立方根，求根公式只是形式上的代数解，要得到根的具体数值必需依靠三角函数等，这种情况，历史上叫做“一元三次方程的不可约情形”，在三次方程求根公式发布后很长时间都得不到解决。

还是回到前面那个例子： ，显然有三个实根1、2和-3，但直接用求根公式求，得到这三个实根数值就没那么容易了，三次根号里面的二次根号下竟然出现了负数，在那个时代这是被认为没有意义的，更荒唐的是，对含有负数平方根的式子还要进一步开立方？

那个连负数都不太被得到承认的年代，要走出“对含负数平方根项式子开立方”这一步，谈何容易，卡丹等数学家之后，意大利数学家（工程师）邦贝利总算走出这一步，他排除偏见，对含负数平方根的式子进行形式上的立方运算，结果得到的还是含负数平方根的式子，再将结果反过来用，得到了一些含负数平方根式子形式上的立方根，当他将这一结果用于三次方程求根公式后，发现负数平方根项最终抵消，最终得到了正确的实数根，以邦贝利当年举的一个例子为例：

方程 ，显然至少有一个实数根4，但用当时的求根公式却得出：

邦贝利不管负数平方根有没有意义，做了一个形式上的计算：

得到：

同样得到：

那么邦贝利就认为：

最后得到：

负数平方根项被抵消，得到了一个正确的实数根。也就是说，一元三次方程的根式求解，使得人们不得不承认负数平方根不是完全没有意义的，有时为了得到实数根必需将负数平方根参与运算，也就是说，给虚数合法地位的，正是这种“一元三次方程的不可约情形”。但邦贝利也只是得到了部分虚数的部分立方根，还是没有完全解决虚数开立方的问题。

今天我们已经得到证明，虚数开立方，实部和虚部没有通用代数形式的表达式，必需使用复数三角形式或者复数指数形式的表达式才能得到立方根实部和虚部的表达式，这一命题的严格证明要等到伽罗华（近世代数）时代之后。

这种“一元三次方程的不可约情形”对于初中生根本无法理解，对于高中生也必须复数三角形式（极坐标形式）等复杂知识，严格证明对于一般非数学专业的理工科大学生都是严重超纲的。

最后，给出一个一元三次方程求根卡丹方法的改进方法，即胡德—罗巴切夫斯基方法，这个方法变换简单容易理解，即使遇到虚数开立方根也只需要用三角形式计算一次，取三个立方根中的任意一个立方根均可，使用带有复数类型编程语言（Fortran、C99等）进行编程计算时不易出错，相比今天流行的“盛金公式”法各有优点。胡德—罗巴切夫斯基方法计算步骤如下：

对于一般三次方程 ，先用卡丹给出的变换 变换为缺二次项的三次方程 ，随后用胡德—罗巴切夫斯基变换：

代入缺项三次方程后，方程就可以变换为下列形式：

将此方程看作 的二次方程，任意求出一根作为 ，开立方，立方根就是 ，如果 是虚数，就用复数三角形式开立方，任取一个立方根作为 都行，那么，缺项三次方程的三个根分别是：

注意三次单位根 ，最终即可求出 、 和 。