一根 1m 长的玻璃棒，摔倒地上断成 3 段，最短一段的平均值是多少？
既然是理想状态，那这就是一个力学问题，而非数学问题。
因为理想状态下玻璃棒摔断的位置不会是随机的。
1、初步的分析
我们知道像粉笔之类的脆性材料做成的细长杆，在落地时会摔成三段[1]，这是因为自由落体的细杆受到了端部的横向冲击力，使得杆件内部弯矩过大造成断裂。
这个断裂位置一般并不在中间[2]，这跟掰面条不一样。掰面条的初期加载是一个准静态弯曲过程，断裂位置是看材料的缺陷位置发生裂隙发育。
玻璃棒或者粉笔摔断的过程，从一开始就是一个动力学过程，而非准静态弯曲，必须考虑动力学效应。
我们知道，杆件触地时，产生极大的角速度，使其迅速旋转，而这个过程中就会在杆件内部产生很大的惯性力，并产生惯性力矩，所以这个力学模型更接近于「烟囱倒塌」模型[3]。
2、「烟囱倒塌」力学模型
有哪些经典的力学现象和原理？上边引用论文里的分析比较复杂，用我以前写过的回答来分析一下，学过理论力学和材料力学的工科大学生是可以看明白的。
烟囱质量为m，长为l，密度为ρ，当转过θ时，角速度为ω，角加速度为α，产生惯性力矩 。
首先根据力矩平衡求出角加速度和角速度
得
然后计算内力
烟囱内惯性力和重力都是分布力，
重力是均布力
而惯性力分为
径向的离心力
法向惯性力
所以根据动静法
动弯矩
动轴力
这是一个轴向拉伸与弯曲的组合变形形式，对于烟囱内的材料，主要考虑拉应力引起的破坏，所以要找弯矩最大值的位置，即
轴力也会有影响，轴力前期受压，后期受拉，成抛物线形分布，最大值位置
即轴力最大值位置随角度变化而变化，从x=0移动到x=l处不等
也就是说，弯矩和轴力的分布情况是这样的：
根据拉弯组合的强度条件
基本可以判断，发生破坏的位置就在总高度的1/3处附近或偏上一些，烟囱会在底侧发生断裂。而只考虑弯矩的话，断裂会发生在1/3处的最大弯矩位置。
3、玻璃棒的断裂长度
回到我们这个问题，玻璃棒的每一次触地旋转发生断裂，按照理想情况，都会发生在1/3的长度处。
第一次断裂，玻璃棒会断成 1/3m 和 2/3m 两段。
第二次断裂，是2/3m长度的玻璃棒进一步断裂成 2/3m*1/3=2/9m 和 2/3m*2/3=4/9m 两段。
所以，经过两次断裂，理想情况下玻璃棒会断裂成 3/9m、2/9m、4/9m 三段，其中最短的一段长度就是 2/9m。